INTRODUCTION A L’ANALYSE ET A L’ALGEBRE – SBA111

Filière et option : Sciences Fondamentales de Base et Appliquées (Tronc commun Scientifiques) ; Niveau I

Enseignant : Dr NOTUE KADJIE Arnaud

Disponibilité :   permanent                      Contact : Tel : 6 91 76 69 78

Période du cours : Semestre 1 (octobre- février)

Répartition du volume horaire (CM : 30 heures. TD : 10 heures ; TPE : 5 heures) Crédit : 3
 

Description du cours

Objectifs généraux

L’objectif principal de ce cours est de fournir aux étudiants les outils et la rigueur nécessaires pour comprendre et manipuler les concepts fondamentaux de l’analyse mathématique, en vue d’applications ultérieures en ingénierie et autres disciplines scientifiques.

Contenu du cours

• Notions préliminaires (Ensembles numériques, Intervalles, valeur absolue et inégalités, Principe de borne supérieure et borne inférieure)
• Suites numériques
• Fonctions réelles d’une variable réelle
• Dérivation des fonctions

Apprentissage visé

• Application de l’analyse

Mécanique classique :

• Utilisation des dérivées pour calculer la vitesse et l’accélération d’un objet en mouvement.
  • Équations différentielles pour modéliser la dynamique des systèmes (lois de Newton, oscillateurs harmoniques).

Électricité et magnétisme :

• L’intégration permet de calculer le travail d’une force électrique.
  • L’analyse des séries et des transformées (Fourier, Laplace) aide à résoudre les circuits électriques.

Thermodynamique :

• L’étude des fonctions et des dérivées permet d’optimiser les échanges thermiques.
  • Intégration pour calculer l’énergie interne et l’entropie.

Traitement du signal et des images :

• Transformée de Fourier pour analyser les signaux audios et images.
  • Filtrage numérique et compression d’images (JPEG, MP3).

–     Prérequis

Algèbre – notions de fonctions – Bases logique en mathématiques – Suites numériques

Programme et calendrier

Semaine	Contenus	Activités	Travail préalable
Semaine 1	Acquérir les bases du raisonnement mathématique	Comprendre et utiliser les notions de logique mathématiqueDémonstration mathématique	Réviser les notions de la classe de Terminale Scientifique
Semaine 2	Maîtriser les notions fondamentales des ensembles et des fonctions	Connaître les ensembles numériquesComprendre la notion de fonction, les propriétés fondamentales	Réviser les notions de la classe de Terminale Scientifique
Semaine 3	Étudier la notion de suite et de limite	Définir et analyser la convergence des suites numériques.Calculer des limites de suites et utiliser des critères de convergence	Réviser les notions de la classe de Terminale Scientifique
Semaine 4	Notion de continuité d’une fonction	Définition et propriétés des fonctions continues.Théorèmes fondamentaux	Réviser les notions de la classe de Terminale Scientifique
Semaine 5	Notion de dérivation d’une fonction	Définition et interprétation géométrique de la dérivée.Règles de dérivation et étude des fonctions dérivablesApplications : approximation linéaire, étude des variations, optimisation.	Réviser les notions de la classe de Terminale Scientifique

Mode d’évaluation

Période	Type d’examen / Compétences visées	Pourcentage
Semaine 3	Travail Personnel de l’Etudiant (TPE) Compétences évaluées; Notions abordées (à mis parcours) dans les activités sous forme d’exercices	10%
Semaine 5	Contrôle Continu (CC) Compétences évaluées : Notions abordées dans les activités sous forme d’exercices	20%
Selon la programmation de l’ISABEE	Examen de Session Normale (SN) et Session de Rattrapage Compétences évaluées : Toutes les notions abordées dans les activités	70%

Règles de fonctionnement du cours

#	Intitulé de la règle	Pénalité
1	Respect des délais de remise des travaux	Retrait de quelques points selon la durée du retard
2	Absentéisme non justifié (appel obligatoire)	Interdiction de composer le CC
3	Travail personnel de l’étudiant (Devoir à domicile à faire obligatoirement)	Reprise plus d’une fois
4	Plagiat	Remise à l’administration pour punition

#	Intitulé de la règle	actions
1	Participation aux cours	Points en plus accordés
2	Bonne présentation du cahier	Points en plus accordés
3	Absences justifiées	Heures d’absence annulées

Bibliographie du cours et ressources complémentaires

1. Walter Rudin – Principles of Mathematical Analysis (appelé aussi Baby Rudin)
   1. Un livre rigoureux et bien structuré, adapté aux étudiants souhaitant approfondir la théorie de l’analyse.
2. Jean-Marie Monier – Analyse : cours et exercices corrigés
   1. Un excellent livre en français qui couvre tout le programme d’analyse avec des exercices corrigés.
3. Jean Dieudonné – Fondements de l’Analyse Moderne
   1. Un ouvrage écrit par un grand mathématicien, destiné aux étudiants avancés.
4. Terence Tao – Analysis I & II
   1. Deux tomes qui expliquent l’analyse de manière intuitive et rigoureuse, parfaits pour débuter et approfondir.
5. Élie Cartan – Cours d’Analyse Mathématique
   1. Un livre fondamental qui pose les bases de l’analyse avec une approche rigoureuse.
6. Claude Brezinski – Analyse Mathématique : cours et exercices
   1. Livre détaillé avec de nombreux exercices pour tester ses connaissances.
7. Serge Lang – A First Course in Calculus
   1. Une introduction claire au calcul différentiel et intégral avec des applications.
8. Jean-Pierre Aubin – Analyse mathématique pour l’ingénieur
9. Un livre orienté vers les applications en ingénierie et physique.

• Robert Bartle & Donald Sherbert – Introduction to Real Analysis
  • Un livre accessible qui introduit les bases de l’analyse rigoureuse.
• Nicolas Bourbaki – Éléments d’analyse
• Une référence très théorique pour ceux qui veulent approfondir.
• Gilbert Strang – Calculus
• Un livre clair et pédagogique, parfait pour une première approche du calcul différentiel et intégral.
• Richard Courant & Fritz John – Introduction to Calculus and Analysis
• Un ouvrage bien illustré qui met en avant l’intuition derrière les concepts.
• Jean-François Dars, Annick Lesne, Yves Pomeau – Méthodes de mathématiques pour les sciences
• Un livre qui relie l’analyse aux applications en physique et en sciences de l’ingénieur.

14.  MIT OpenCourseWare – Calculus & Real Analysis

• Une ressource en ligne gratuite avec des vidéos et des notes de cours : ocw.mit.edu

15.  Cours de l’École Polytechnique (France)

• Des notes de cours accessibles en ligne sur le site de l’X : www.polytechnique.edu